♟️ 게임 이론(Game Theory)의 이해
게임 이론은 상호 의존적이고 이성적인 의사결정에 관한 수학적 이론입니다. 개인이나 기업이 어떤 행위를 했을 때, 그 결과가 마치 게임처럼 자신뿐만 아니라 다른 참여자의 행동에 의해서도 결정되는 상황에서, 자신의 최대 이익에 부합하는 행동을 추구하는 것을 수학적으로 분석합니다.
여기서 게임이란 효용 극대화를 추구하는 행위자들이 일정한 전략을 가지고 최고의 보상을 얻기 위해 벌이는 행위를 말합니다. 게임 이론은 주로 경제학과 같은 사회 과학 분야에서 활용되는 응용 수학의 한 분야이지만, 생물학, 정치학, 컴퓨터 과학, 철학 등 다양한 분야에서도 중요한 연구 도구로 사용됩니다.
게임 이론은 참여자들이 상호작용하며 변화하는 상황을 이해하고, 그 상호작용이 어떻게 전개될지, 그리고 매 순간 어떻게 행동하는 것이 더 이득이 될지를 수학적으로 분석하여 도움을 줍니다.
📜 게임 이론의 역사와 발전
갈등과 대립의 전략적 측면을 연구한 것은 1921년 보렐의 연구가 있었으나, 이론적인 기초는 **존 폰 노이만(John von Neumann)**에 의해 다져졌습니다.
- 1928년: 노이만이 이론 구축을 시도했으나, 당시에는 수학적으로 난해하고 용도가 이해하기 어려웠습니다.
- 1944년: 노이만과 **오스카 모르겐슈테른(Oskar Morgenstern)**이 공동으로 기념비적인 저서 **《게임 이론과 경제 행동》(Theory of Games and Economic Behavior)**을 발표하며 게임 이론을 응용 수학의 영역으로 명확히 자리매김했습니다. 이 연구를 통해 **미니맥스 원리(Minimax Principle)**가 증명되었습니다.
- 제2차 세계 대전: 게임 이론은 전쟁 전략, 특히 전략 폭격 계획 등에 처음 적용되었습니다.
- 1950년대 이후: 이론이 광범위하게 연구되었으며, 1970년대에는 자연선택에 의한 진화를 포함한 동물의 행동 연구에도 적용되었습니다.
- 현재: 게임 이론은 다양한 분야에서 중요한 연구 도구로 널리 인정받고 있으며, 많은 학자들이 노벨 경제학상 등을 수상했습니다.
전통적으로 게임 이론의 응용은 균형점(각 개체가 자신의 행동을 바꾸지 않는 전략들의 집합)을 찾는 것이며, 이 중 **내시 균형(Nash equilibrium)**이 가장 유명합니다.
🎲 게임의 형태 (수학적 객체)
게임 이론에서 연구하는 게임은 몇 명의 참가자(행위자), 참가자들이 할 수 있는 행동들(전략), 그리고 전략 조합에 따른 **보상(payoff)**으로 구성되는 잘 정의된 수학적 객체입니다. 게임의 표현 방식에 따라 다음과 같은 형태로 나뉩니다.
1. 전개형 (Extensive Form)
순서가 있는 게임을 정형화하는 데 사용됩니다.
- 표현: 종종 (거꾸로 된) 나무 모양으로 표현됩니다. 각 **점(노드)**은 한 참여자의 선택 지점을 나타내며, 점에서 뻗어 나가는 선들은 가능한 행동을 나타냅니다. 보상은 나무의 끝(아래쪽)에 표시됩니다.
- 예시: 참여자 1이 먼저 선택하고, 그 결과를 본 참여자 2가 선택하는 순차적 게임에 적합합니다.
- 정보: 불충분한 정보나 동시 움직이는 게임을 표현할 때는 점선이나 폐곡선으로 서로 다른 노드를 연결하여 같은 정보에서 게임하는 것을 나타냅니다.
2. 일반형 (Normal Form) 또는 전략형
동시 게임이나 상대방의 행동을 모르는 상황에서 펼쳐지는 게임을 표현합니다.
- 표현: 주로 **행렬(매트릭스)**로 표현됩니다. 행과 열을 선택하는 두 참가자(혹은 그 이상의 참가자)의 전략 조합에 상응하는 각 참가자의 보상을 기록합니다.
- 예시 (2인 게임):| :---: | :---: | :---: || 참가자1 아래쪽 선택 | 0, 0 | 3, 4 |
- (보상은 (참가자1, 참가자2) 순서)
- | 참가자1 위쪽 선택 | 4, 3 | -1, -1 |
- | | 참가자2 왼쪽 선택 | 참가자2 오른쪽 선택 |
3. 특성함수형 (Characteristic Function Form)
주로 협조적 게임에서 사용됩니다.
- 개념: 각 개인에게 보상을 직접 주지 않고, 특성함수가 참가자들의 특정 **연합(coalition)**이 얻을 수 있는 보상을 결정합니다.
- 표현: 게임참여자들의 집합 $N$과 특성 함수 $v:2^N \to \mathbb{R}$의 쌍 $(N, v)$으로 주어집니다.
🕹️ 게임의 유형 분류
1. 협조적 게임 vs. 비협조적 게임
- 협조적 게임 (Cooperative Game): 참가자들이 구속력 있는 약속 (예: 법적 규제)을 맺을 수 있는 게임입니다.
- 비협조적 게임 (Non-Cooperative Game): 참가자들이 구속력 있는 약속을 맺는 것이 가능하지 않은 게임입니다.
2. 제로섬 게임 vs. 넌-제로섬 게임
- 제로섬 게임 (Zero-sum Game): 모든 참가자가 얻는 이익과 손실의 합이 항상 0이 되는 게임입니다. 한쪽이 얻으면 다른 한쪽은 반드시 잃게 됩니다.
- 예시: 가위바위보 (무승부 제외), 두 사람이 정해진 몫을 나누는 상황.
- 넌-제로섬 게임 (Non-Zero-sum Game): 모든 참가자가 얻는 이익과 손실의 합이 0이 아닌 게임입니다. 협상이나 상호작용을 통해 전체 이익이 커지거나 작아질 수 있습니다.
- 예시: 죄수의 딜레마, 협상을 통해 빵의 전체 양을 늘릴 수 있는 상황.
3. 대칭적 게임 vs. 비대칭적 게임
- 대칭적 게임 (Symmetric Game): 특정 전략에 대한 보수가 다른 사람의 행동이 아닌 다른 전략에 의해 결정되며, 참가자의 위치를 바꿔도 전략에 대한 보수가 바뀌지 않는 게임입니다.
- 예시: 죄수의 딜레마, 치킨 게임.
- 비대칭적 게임 (Asymmetric Game): 대부분 참가자들에게 동일한 전략이 주어지지 않거나, 동일한 전략이 주어져도 참가자 위치에 따라 보수가 달라지는 게임입니다.
- 예시: 최후통첩 게임, 독재자 게임.
4. 동시적 게임 vs. 순차적 게임
- 동시적 게임 (Simultaneous Game): 참가자들이 동시에 행동하거나, 동시에 시행하지 않더라도 후자가 전자의 선택을 모르고 행동하는 게임입니다. (일반형으로 표현)
- 순차적 게임 (Sequential Game): 후자(나중에 행동하는 참가자)가 전자(먼저 행동한 참가자)의 선택에 대한 정보를 갖고서 선택하는 게임입니다. 이 정보는 전자의 행동에 대한 완전 정보가 아닐 수도 있습니다. (전개형으로 표현)